Contenidos

 

Tema 1. ESPACIOS DE HILBERT

Espacios con producto interior. Espacios de Hilbert. Sumas directas y complementos ortogonales. Conjuntos ortonormales. Bases ortonormales. Isomorfismos de espacios de Hilbert. Ejemplos y aplicaciones: series trigonométricas, polinomios ortogonales.

 

Tema 2. OPERADORES Y FUNCIONALES LINEALES

Funcionales lineales: teorema de representación de Fréchet-Riesz. Aplicaciones bilineales. Aplicaciones y formas sesquilineales acotadas. Operador adjunto. Ejemplos.

 

Tema 3. CLASES DE OPERADORES

Operadores isométricos, unitarios, autoadjuntos, normales. Operadores positivos: raíz cuadrada y forma polar. Proyecciones. Subespacios invariantes y reducción de operadores. Operadores de rango finito, compactos, de Hilbert-Schmidt y de traza. Ejemplos.

 

Tema 4. TEORÍA ESPECTRAL

Motivación: diagonalización de matrices. Espectro y resolvente de un operador. El espectro puntual: autovalores y autovectores, subespacios propios, valores propios aproximados. Teoría espectral de operadores compactos normales: valores propios, teorema espectral, sumas pesadas de proyecciones. Aplicaciones: alternativa de Fredholm.

 

Tema 5. OPERADORES NO ACOTADOS
Operadores densamente definidos, simétricos, autoadjuntos y cerrados. Aplicaciones a la mecánica cuántica: operadores posición y momento, principio de incertidumbre de Heisenberg.
Last modified: Monday, 8 July 2013, 12:58 AM