Contenidos

Espacios con producto interior. Espacios de Hilbert. Sumas directas y complementos ortogonales. Conjuntos ortonormales. Bases ortonormales. Isomorfismos de espacios de Hilbert. Ejemplos y aplicaciones: series trigonométricas, polinomios ortogonales.

Funcionales lineales: teorema de representación de Fréchet-Riesz. Aplicaciones bilineales. Aplicaciones y formas sesquilineales acotadas. Operador adjunto. Ejemplos.

Operadores isométricos, unitarios, autoadjuntos, normales. Operadores positivos: raíz cuadrada y forma polar. Proyecciones. Subespacios invariantes y reducción de operadores. Operadores de rango finito, compactos, de Hilbert-Schmidt y de traza. Ejemplos.

Motivación: diagonalización de matrices. Espectro y resolvente de un operador. El espectro puntual: autovalores y autovectores, subespacios propios, valores propios aproximados. Teoría espectral de operadores compactos normales: valores propios, teorema espectral, sumas pesadas de proyecciones. Aplicaciones: alternativa de Fredholm.