ANÁLISIS FUNCIONAL

Diagrama de temas

• PRESENTACIÓN

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  Presentación del curso

  El análisis funcional es una rama de las matemáticas que consiste en el estudio de ciertas estructuras algebraico-topológicas, de los operadores entre ellas, y de los métodos que permiten aplicar el conocimiento de tales estructuras a distintos problemas del análisis matemático.

  En el marco del análisis funcional, las funciones no se consideran como entes aislados, sino como elementos de un conjunto al que se dota de una estructura de espacio vectorial y de una topología compatible con esta estructura, es decir, que hace continuas a las operaciones algebraicas (suma y producto por escalares); las propiedades de una función se deducen entonces de la naturaleza y propiedades del espacio que la contiene y de los operadores definidos sobre él. El espacio resultante se denomina espacio vectorial topológico y la forma más habitual de obtenerlo es mediante la métrica proveniente de una norma, la cual en ocasiones, está generada por un producto escalar. Es evidente que los espacios de dimensión finita responden a este esquema, pero el mayor interés del análisis funcional estriba en la consideración de espacios de dimensión infinita, cuyo comportamiento puede ser muy diferente al de los espacios finito-dimensionales; no en vano, el análisis funcional tiene su origen en el análisis clásico, concretamente en las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, el análisis numérico, el cálculo de variaciones, la teoría de la aproximación, las ecuaciones integrales, y otros ámbitos donde se requiere disponer de un cálculo en espacios de funciones continuas o integrables, que son de dimensión infinita. Actualmente, el análisis funcional encuentra aplicaciones e interrelaciones con muchas otras ramas del análisis, como el análisis armónico, e incluso con otras ciencias, como la física (mecánica cuántica) o la economía (optimización convexa).

  Los materiales que se comparten en este espacio OCW corresponden a la asignatura de Análisis Funcional, optativa de cuarto curso del Grado en Matemáticas por la Universidad de La Laguna. Para dar cumplimiento a lo dispuesto en la correspondiente memoria de verificación, buena parte de la bibliografía / webgrafía a consultar y todas las actividades propuestas se encuentran en lengua inglesa.

  

   Viñeta publicada en la sección de Humor del vol. 5, no. 3 (jun. 2009) de Matematicalia.net

• INFORMACIÓN GENERAL
  • Programa formativo

  • 

    Guía docente o programa de la propuesta formativa Archivo
  • Profesorado

  • 

    María Isabel Marrero Rodríguez Página

• CONTENIDOS / MATERIALES DE ESTUDIO
  • Tema 1. Teoría básica de espacios de Hilbert

    Contenidos

    1. Introducción
    2. Producto interior
       2.1 Espacios con producto interior
       2.2 Espacios de Hilbert
    3. Ortonormalidad
       3.1 Sumas directas y complementos ortogonales
       3.2 Conjuntos ortonormales
       3.3 Bases ortonormales
       3.4 Isomorfismos de espacios de Hilbert
    4. Series trigonométricas
    5. Polinomios ortogonales
       5.1 Polinomios de Legendre
       5.2 Polinomios de Laguerre
       5.3 Polinomios de Hermite
    6. Operadores y funcionales lineales
       6.1 Funcionales lineales
       6.2 Aplicaciones bilineales
       6.3 Aplicaciones sesquilineales
             6.3.1 Aplicaciones sesquilineales acotadas
             6.3.2 Formas sesquilineales acotadas en espacios de Hilbert
       6.4 Operadores adjuntos

    
    
  • 

    Teoría básica de espacios de Hilbert Archivo
  • 

    Problem set 1 Archivo
  • Tema 2. Espacios de Banach: teoremas fundamentales
    

    Contenidos

    1. Introducción
    2. Espacios normados
    3. Propiedades de los espacios normados
    4. El teorema de la categoría de Baire
       4.1 Categorías de Baire
       4.2 Aplicaciones del teorema de la categoría
             4.2.1 Conjuntos $$F_{\sigma}$$ y $$G_{\delta}$$
             4.2.2 Conjuntos de continuidad y discontinuidad
             4.2.3 Funciones continuas no derivables en ningún punto
    5. Principio de acotación uniforme y teorema de Banach-Steinhaus
       5.1 Acotación puntual y acotación uniforme
       5.2 Primeras aplicaciones
       5.3 Series de Fourier de funciones continuas
             5.3.1 Convergencia y representación
             5.3.2 Núcleos de sumabilidad
    6. Teorema de la aplicación abierta
       6.1 Aplicaciones abiertas
       6.2 Bases de Schauder
       6.3 Coeficientes de Fourier de funciones en $$L^{1}(\mathbb{T})$$
    7. Teorema del grafo cerrado
       7.1 Grafo de un operador lineal
       7.2 Operadores en espacios $$\ell^p$$

    
    
  • 

    Espacios de Banach: teoremas fundamentales Archivo
  • 

    Problem set 2 Archivo
  • Tema 3. Teoremas de Hahn-Banach y aplicaciones
    

    Contenidos

    1. Introducción
    2. Versión analítica
       2.1 Extensión mayorada
       2.2 Extensión continua
       2.3 Abundancia de funcionales
       2.4 Otras aplicaciones
    3. Versión geométrica
       3.1 Espacios cociente, hiperplanos y funcionales lineales
       3.2 Problemas de separación
       3.3 Funcional de Minkowski
       3.4 Separación en espacios vectoriales
       3.5 Separación en espacios normados
             3.5.1 Separación estricta
             3.5.2 Funcionales y puntos de soporte
             3.5.3 Separación fuerte

    
    
  • 

    Teoremas de Hahn-Banach y aplicaciones Archivo
  • 

    Problem set 3 Archivo
  • Tema 4. Introducción a la teoría espectral de operadores lineales

    Contenidos

    1. Introducción
    2. Topologías débil y débil*
       2.1 Topología inicial definida por una familia de aplicaciones
       2.2 La topología débil $$\sigma\left(X, X^{\prime}\right)$$
       2.3 Topología débil, conjuntos convexos y operadores lineales
       2.4 La topología débil* $$\sigma\left(X^{\prime},X\right)$$
    3. Operadores adjuntos
       3.1 Anuladores
       3.2 El teorema del rango cerrado
    4. Teoría espectral de operadores compactos

    
    
  • 

    Introducción a la teoría espectral de operadores lineales Archivo
  • 

    Problem set 4 Archivo

• ACTIVIDADES PRÁCTICAS / AUTOEVALUACIÓN
  • 

    Autoevaluación parcial 1 Archivo
  • 

    Autoevaluación parcial 1: soluciones Archivo
  • 

    Autoevaluación parcial 2 Archivo
  • 

    Autoevaluación parcial 2: soluciones Archivo
  • 

    Autoevaluación final 1 Archivo
  • 

    Autoevaluación final 1: soluciones Archivo
  • 

    Autoevaluación final 2 Archivo
  • 

    Autoevaluación final 2: soluciones Archivo

• BIBLIOGRAFÍA / MATERIALES DE CONSULTA
  • Bibliografía básica

    • A. Vera López, P. Alegría Ezquerra: Un curso de análisis funcional. AVL, 1997.
    • I. Marrero: Problemas de análisis real y funcional. Servicio de Publicaciones, Universidad de La Laguna, 1991.

    
    
  • Bibliografía complementaria

    • A. Bower, N. J. Kalton: An introductory course in functional analysis. Springer, 2014.
    • A. Friedman: Foundations of modern analysis. Dover, 1982.
    • E. Kreyszig: Introductory functional analysis with applications. Wiley, 1978.
    • B. V. Limaye: Functional analysis, 2^nd edition. New Age, 1996.
    • W. Rudin: Análisis real y complejo, 3^a edición. McGraw-Hill, 1988.
    • B. P. Rynne, M. A. Youngson: Linear functional analysis, 2^nd edition. Springer, 2008.
    • R. Sen: A first course in functional analysis. Anthem, 2013.

    
    
  • Recursos en línea

    • J. Großmann: The Bright Side of Mathematics - Functional analysis
      [https://youtube.com/playlist?list=PLBh2i93oe2qsGKDOsuVVw-OCAfprrnGfr].
    • I. Marrero: Teoría de operadores, curso OCW-ULL, 2011/12
      [https://campusvirtual.ull.es/ocw/course/view.php?id=26].
    • F. J. Pérez González: Análisis funcional en espacios de Banach, Universidad de Granada
      [https://www.ugr.es/~fjperez/textos/Analisis_Funcional_en_Espacios_de_Banach.pdf].

    
    

• LICENCIA
  • 
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