El análisis funcional es una rama de las matemáticas que consiste en el estudio de ciertas estructuras algebraico-topológicas, de los operadores entre ellas, y de los métodos que permiten aplicar el conocimiento de tales estructuras a
distintos problemas del análisis matemático.
En el marco del análisis funcional, las funciones no se consideran como entes aislados, sino como elementos de un conjunto al que se dota de una estructura de espacio vectorial y de una topología compatible con esta estructura, es decir,
que hace continuas a las operaciones algebraicas (suma y producto por escalares); las propiedades de una función se deducen entonces de la naturaleza y propiedades del espacio que la contiene y de los operadores definidos sobre él.
El espacio resultante se denomina espacio vectorial topológico y la forma más habitual de obtenerlo es mediante la métrica proveniente de una norma, la cual en ocasiones, está generada por un producto escalar. Es evidente que los espacios
de dimensión finita responden a este esquema, pero el mayor interés del análisis funcional estriba en la consideración de espacios de dimensión infinita, cuyo comportamiento puede ser muy diferente al de los espacios finito-dimensionales;
no en vano, el análisis funcional tiene su origen en el análisis clásico, concretamente en las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, el análisis numérico, el cálculo de variaciones, la teoría de la aproximación,
las ecuaciones integrales, y otros ámbitos donde se requiere disponer de un cálculo en espacios de funciones continuas o integrables, que son de dimensión infinita. Actualmente, el análisis funcional encuentra aplicaciones e interrelaciones
con muchas otras ramas del análisis, como el análisis armónico, e incluso con otras ciencias, como la física (mecánica cuántica) o la economía (optimización convexa).
Los materiales que se comparten en este espacio OCW corresponden a la asignatura de Análisis Funcional, optativa de cuarto curso del Grado en Matemáticas por la Universidad de La Laguna. Para dar cumplimiento a lo dispuesto en la correspondiente
memoria de verificación, buena parte de la bibliografía / webgrafía a consultar y todas las actividades propuestas se encuentran en lengua inglesa.
Viñeta publicada en la sección de Humor del vol. 5, no. 3 (jun. 2009) de Matematicalia.net
