Resumen Tema 1

Nos ocuparemos a continuación de definir y estudiar la integral múltiple en el sentido de Riemann. La teoría será desarrollada fundamentalmente en el plano, pero se puede trasladar sin dificultad a dimensiones superiores. Comenzamos definiendo la integral de las llamadas funciones escalonadas sobre rectángulos, para luego considerar funciones y dominios más generales. El teorema de Lebesgue caracterizará las funciones integrables como aquellas cuyo conjunto de discontinuidades tiene medida nula.

Una vez definida la integral, interesa encontrar herramientas para calcularla. Entre ellas se encuentran:

• El teorema de Fubini, que permite obtener el valor de la integral doble de una función continua por integración simple reiterada en cualquier orden.
  
• Criterios de simetría del recinto y paridad del integrando, que permiten reducir el cálculo de una integral dada a otro dominio menor.
• El teorema del cambio de variables, con el que frecuentemente se busca transformar el recinto de integración en un rectángulo.

El tema concluye con el estudio de las integrales impropias y paramétricas múltiples.