Contenidos teóricos

Contenidos teóricos

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1. La integral de Riemann múltiple

1.1. La integral doble sobre rectángulos.

1.1.1. La integral de funciones escalonadas.

1.1.2. La integral de funciones definidas y acotadas sobre rectángulos.

1.1.3. Integrabilidad de funciones acotadas con discontinuidades.

1.1.4. Teoremas de la media en rectángulos.

1.2. La integral doble sobre recintos no rectangulares.

1.2.1. Conjuntos de tipos I y II.

1.2.2. Aplicaciones al cálculo de áreas y volúmenes.

1.2.3. Conjuntos medibles Jordan.

1.3. Integración múltiple.

1.3.1. Integrales múltiples.

1.3.2. Caso particular: la integral triple.

1.4. Criterios de simetría y paridad.

1.4.1. Integrales dobles.

1.4.2. Integrales triples.

1.5. Cambio de variables.

1.5.1. Teorema del cambio de variables.

1.5.2. Algunos ejemplos: transformaciones lineales, coordenadas polares,

 coordenadas cilíndricas y esféricas.

1.6. Integrales impropias múltiples.

1.6.1. Caracterización de la integrabilidad impropia.

1.6.2. Convergencia y convergencia absoluta.

1.6.3. Criterios de convergencia.

1.7. Integrales paramétricas propias.

1.7.1. Tipos de integrales paramétricas.

1.7.2. Continuidad. Derivación.

1.8. Integrales paramétricas impropias.

1.8.1. Convergencia y convergencia uniforme.

1.8.2. Criterios de convergencia uniforme.

1.8.3. Límites. Continuidad. Integración. Derivación.

2. Integración sobre curvas

2.1. Integrales de línea.

2.1.1. Caminos. Longitud de arco.

2.1.2. Integral de línea de campos escalares.

2.1.3. Integral de línea de campos vectoriales.

2.1.4. Independencia del camino.

2.2. Teorema de Green.

2.2.1. Regiones simplemente conexas.

2.2.2. Regiones múltiplemente conexas.

2.2.3. Aplicaciones: número de giros, teorema del cambio de variables.

3. Integración sobre superficies

3.1. Integrales de superficie.

3.1.1. Superficies. Área de una superficie.

3.1.2. Integral de superficie de campos escalares.

3.1.3. Integral de superficie de campos vectoriales.

3.2. Teoremas de Stokes y Gauss.

3.2.1. Teorema de Stokes.

3.2.2. Teorema de la divergencia o de Gauss.

4. Aplicaciones físicas

4.1. Aplicaciones del cálculo integral vectorial a la física.

4.1.1. Integral doble.

4.1.2. Integral triple.

4.1.3. Integrales de línea y superficie.