Diagrama de temas

  • INFORMACIÓN GENERAL

  • CONTENIDOS / MATERIALES DE ESTUDIO

      1. Introducción.
      2. El cuerpo complejo \(\mathbb{C}\).
      3. Orden y \(\mathbb{C}\).
      4. Conjugación.
      5. El plano complejo.
      6. Módulo de un número complejo.
      7. Argumento de un número complejo.
      8. 7.1. Formas trigonométrica, exponencial y polar de un número complejo.
        7.2. Argumento y argumento principal.
      9. Potenciación y radicación.
      10. Topología del plano complejo
      11. 9.1. Conexidad.
        9.2. Sucesiones de números complejos
        9.3. Compacidad.
        9.4. Series de números complejos.
      12. El plano complejo extendido.
      13. Ejercicios resueltos.

      1. Introducción.
      2. Funciones complejas de variable compleja.
      3. 2.1. Funciones complejas de variable compleja.
        2.2. Las funciones como transformaciones.
      4. Límites y continuidad.
      5. 3.1. Límites.
        3.2. Continuidad.
        3.3. Continuidad uniforme.
        3.4. Funciones multivaluadas.
          3.4.1. Ramas, saltos de rama, puntos de ramificación.
          3.4.2. Ramas del argumento.
      6. Derivabilidad y holomorfía.
      7. 4.1. Derivabilidad.
        4.2. Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
        4.3. Holomorfía.
        4.4. Funciones armónicas conjugadas.
      8. Sucesiones y series funcionales.
      9. 5.1. Sucesiones funcionales.
        5.2. Series funcionales.
        5.3. Series de potencias: analiticidad.
      10. Funciones complejas elementales.
      11. 6.1. Exponencial compleja.
        6.2. Logaritmo complejo.
          6.2.1. Propiedades algebraicas y analíticas.
          6.2.2. Ramas del logaritmo.
        6.3. Potencias complejas.
          6.3.1. Propiedades algebraicas y analíticas.
          6.3.2. Ramas de la función potencial.
        6.4. Funciones trigonométricas complejas.
          6.4.1. Seno y coseno complejos.
          6.4.2. Tangente compleja.
      12. Ejercicios resueltos.

      1. Introducción.
      2. Integrales de contorno.
      3. 2.1. Caminos y curvas en el plano complejo.
        2.2. Funciones complejas de variable real.
        2.3. Funciones complejas de variable compleja.
      4. Teorema de Cauchy-Goursat.
      5. 3.1. Dominios simple y múltiplemente conexos.
        3.2. Teorema de Cauchy-Goursat en dominios simplemente conexos.
        3.3. Teorema de Cauchy-Goursat en dominios múltiplemente conexos.
          3.3.1. Principio de deformación de contornos.
          3.3.2. Teorema de Cauchy-Goursat en dominios múltiplemente conexos.
      6. Independencia del camino.
        4.1. Segundo teorema fundamental del cálculo para integrales de contorno.
        4.2. Primer teorema fundamental del cálculo para integrales de contorno.
        4.3. Integración por partes.
      7. Fórmulas integrales de Cauchy.
      8. 5.1. Primera fórmula integral de Cauchy.
        5.2. Segunda fórmula integral de Cauchy.
      9. Algunas consecuencias de las fórmulas integrales de Cauchy.
      10. 6.1. Toda función holomorfa es infinitamente derivable.
        6.2. Desigualdad de Cauchy.
        6.3. Teorema de Liouville.
        6.4. Teorema fundamental del álgebra.
        6.5. Teorema de Morera.
        6.6. Analiticidad de las funciones holomorfas.
        6.7. Principio de identidad de funciones holomorfas.
        6.8. Principio del módulo máximo.
      11. Ejercicios resueltos.

      1. Introducción.
      2. Series de Laurent.
      3. Ceros y polos.
      4. 3.1. Clasificación de las singularidades aisladas.
        3.2. Ceros de las funciones analíticas.
        3.3. Polos.
      5. Teorema de los residuos.
      6. 4.1. Cálculo de residuos en polos.
        4.2. Evaluación de integrales complejas.
      7. Aplicaciones del teorema de los residuos al cálculo de integrales reales.
      8. 5.1. Integrales trigonométricas reales.
        5.2. Integrales impropias reales.
          5.2.1. Valor principal de Cauchy.
          5.2.2. Evaluación de integrales impropias reales.
          5.2.3. Integrales de Fourier.
          5.2.4. Indentación de contornos.
        5.3. Integración a lo largo de un salto de rama.
      9. Principio del argumento y teorema de Rouché.
      10. 6.1. Principio del argumento.
        6.2. Teorema de Rouché.
      11. Ejercicios resueltos.

  • ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

  • BIBLIOGRAFÍA / MATERIALES DE CONSULTA

  • LICENCIA