Topic outline

  • PRESENTACIÓN

    • Esta asignatura consiste en una introducción a la teoría de funciones complejas de variable compleja, a un nivel adecuado al tercer curso del Grado en Matemáticas. Pretende proporcionar unos conocimientos básicos que posibiliten la posterior ampliación y profundización en el estudio del análisis complejo.

      Para seguirla con aprovechamiento se recomienda que el estudiante esté previamente familiarizado con la diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales y con la integral de línea de campos vectoriales. No obstante, deberá tener presente que, a pesar de esta evidente relación con la teoría de funciones reales de los cursos anteriores, la teoría de funciones de variable compleja difiere sustancialmente de aquella tanto en los conceptos como en los métodos.

      El curso comprende los principios fundamentales del análisis complejo, a saber: aritmética y geometría de los números complejos; topología del plano complejo; el plano complejo extendido; estudio de las funciones holomorfas, como parte fundamental de la teoría; funciones elementales; integración compleja; series numéricas, de Taylor y de Laurent; ceros de las funciones holomorfas; singularidades; y residuos. Se presentarán los teoremas principales y se resolverán ejercicios de aplicación.

  • INFORMACIÓN GENERAL

  • CONTENIDOS / MATERIALES DE ESTUDIO

    • Tema 1: El sistema de los números complejos File
      1. Introducción.
      2. El cuerpo complejo \(\mathbb{C}\).
      3. Orden y \(\mathbb{C}\).
      4. Conjugación.
      5. El plano complejo.
      6. Módulo de un número complejo.
      7. Argumento de un número complejo.
        8. 7.1. Formas trigonométrica, exponencial y polar de un número complejo.
        7.2. Argumento y argumento principal.
      8. Potenciación y radicación.
      9. Topología del plano complejo
        10. 9.1. Conexidad.
        9.2. Sucesiones de números complejos
        9.3. Compacidad.
        9.4. Series de números complejos.
      10. El plano complejo extendido.
      11. Ejercicios resueltos.

    • Tema 2: Funciones holomorfas, armónicas y analíticas File
      1. Introducción.
      2. Funciones complejas de variable compleja.
        3. 2.1. Funciones complejas de variable compleja.
        2.2. Las funciones como transformaciones.
      3. Límites y continuidad.
        4. 3.1. Límites.
        3.2. Continuidad.
        3.3. Continuidad uniforme.
        3.4. Funciones multivaluadas.
          3.4.1. Ramas, saltos de rama, puntos de ramificación.
          3.4.2. Ramas del argumento.
      4. Derivabilidad y holomorfía.
        5. 4.1. Derivabilidad.
        4.2. Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
        4.3. Holomorfía.
        4.4. Funciones armónicas conjugadas.
      5. Sucesiones y series funcionales.
        6. 5.1. Sucesiones funcionales.
        5.2. Series funcionales.
        5.3. Series de potencias: analiticidad.
      6. Funciones complejas elementales.
        7. 6.1. Exponencial compleja.
        6.2. Logaritmo complejo.
          6.2.1. Propiedades algebraicas y analíticas.
          6.2.2. Ramas del logaritmo.
        6.3. Potencias complejas.
          6.3.1. Propiedades algebraicas y analíticas.
          6.3.2. Ramas de la función potencial.
        6.4. Funciones trigonométricas complejas.
          6.4.1. Seno y coseno complejos.
          6.4.2. Tangente compleja.
      7. Ejercicios resueltos.

    • Tema 3: Integración compleja File
      1. Introducción.
      2. Integrales de contorno.
        3. 2.1. Caminos y curvas en el plano complejo.
        2.2. Funciones complejas de variable real.
        2.3. Funciones complejas de variable compleja.
      3. Teorema de Cauchy-Goursat.
        4. 3.1. Dominios simple y múltiplemente conexos.
        3.2. Teorema de Cauchy-Goursat en dominios simplemente conexos.
        3.3. Teorema de Cauchy-Goursat en dominios múltiplemente conexos.
          3.3.1. Principio de deformación de contornos.
          3.3.2. Teorema de Cauchy-Goursat en dominios múltiplemente conexos.
      4. Independencia del camino.
        4.1. Segundo teorema fundamental del cálculo para integrales de contorno.
        4.2. Primer teorema fundamental del cálculo para integrales de contorno.
        4.3. Integración por partes.
      5. Fórmulas integrales de Cauchy.
        6. 5.1. Primera fórmula integral de Cauchy.
        5.2. Segunda fórmula integral de Cauchy.
      6. Algunas consecuencias de las fórmulas integrales de Cauchy.
        7. 6.1. Toda función holomorfa es infinitamente derivable.
        6.2. Desigualdad de Cauchy.
        6.3. Teorema de Liouville.
        6.4. Teorema fundamental del álgebra.
        6.5. Teorema de Morera.
        6.6. Analiticidad de las funciones holomorfas.
        6.7. Principio de identidad de funciones holomorfas.
        6.8. Principio del módulo máximo.
      7. Ejercicios resueltos.

    • Tema 4: Funciones meromorfas File
      1. Introducción.
      2. Series de Laurent.
      3. Ceros y polos.
        4. 3.1. Clasificación de las singularidades aisladas.
        3.2. Ceros de las funciones analíticas.
        3.3. Polos.
      4. Teorema de los residuos.
        5. 4.1. Cálculo de residuos en polos.
        4.2. Evaluación de integrales complejas.
      5. Aplicaciones del teorema de los residuos al cálculo de integrales reales.
        6. 5.1. Integrales trigonométricas reales.
        5.2. Integrales impropias reales.
          5.2.1. Valor principal de Cauchy.
          5.2.2. Evaluación de integrales impropias reales.
          5.2.3. Integrales de Fourier.
          5.2.4. Indentación de contornos.
        5.3. Integración a lo largo de un salto de rama.
      6. Principio del argumento y teorema de Rouché.
        7. 6.1. Principio del argumento.
        6.2. Teorema de Rouché.
      7. Ejercicios resueltos.

  • ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

  • BIBLIOGRAFÍA / MATERIALES DE CONSULTA

      • L. V. Ahlfors: Complex variables. McGraw-Hill, 1978. [Edición en español: Análisis de variable compleja. Aguilar, 1971].
      • D. Alpay: A complex analysis problem book. Birkhäuser, 2010.
      • M. Beck, G. Marchesi, D. Pixton, L. Sabalka: A first course in complex analysis [http://math.sfsu.edu/beck/complex.html].
      • J. W. Brown, R. V. Churchill: Variable compleja y aplicaciones. McGraw-Hill, 2007.
      • J. B. Conway: Functions of one complex variable I. Springer, 1995.
      • T. W. Gamelin: Complex analysis. Springer, 2003.
      • S. G. Krantz: A guide to complex variables. The Mathematical Association of America, 2008.
      • S. G. Krantz: Complex variables: A physical approach with applications (2nd. ed.). CRC Press, 2019.
      • N. Levinson, R. Redheffer: Curso de variable compleja. Reverté, 1990.
      • P. J. Nahin: An imaginary tale: The story of \(\sqrt{-1}\). Princeton University Press, 2007.
      • B. P. Palka: An introduction to complex function theory. Springer, 1995.
      • F. Pérez González: Variable compleja. Universidad de La Laguna, 2018.
      • F. J. Pérez González: Curso de análisis complejo. Universidad de Granada, 2004.
      • D. Pestana, J. M. Rodríguez, F. Marcellán: Variable compleja: Un curso práctico. Síntesis, 1999.
      • J. C. Ponce: Complex analysis: A visual and interactive introduction [https://complex-analysis.com].
      • E. B. Saff, A. D. Snider: Fundamentals of complex analysis. Prentice-Hall, 2003.
      • E. M. Stein, R. Shakarchi: Complex analysis. Princeton University Press, 2003.
      • I. Stewart, D. Tall: Complex analysis: The hitchhiker’s guide to the plane (2nd. ed.). Cambridge University Press, 2018.
      • G. Vera Botí: Variable compleja: Problemas y complementos. ElectoLibris, 2013.
      • Wolfram Alpha: Examples for complex analysis [https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/complex-analysis].
      • D. G. Zill, P. D. Shanahan: A first course in complex analysis with applications. Jones and Bartlett, 2003.

  • LICENCIA